Clifford e os primeiros passos da elaboração das álgebras geométricas

Resumo

Este artigo estuda o processo de elaboração e o conteúdo do primeiro artigo de Clifford Preliminary Sketch of Biquaternions, que constitui a primeira etapa da concepção das álgebras geométricas. A primeira parte deste artigo analisa a formação de Clifford e os seus primeiros trabalhos publicados. As outras partes estudam em detalhe o conteúdo do Preliminary Sketch of Biquaternions, primeira tentativa do autor para criar uma álgebra que caracterize os movimentos de um corpo rígido no espaço.

O artigo de Clifford é dividido em 5 seções. Nas duas primeiras seções, o autor cria o conceito de rotor para operar as rotações no espaço e o conceito de motor para o movimento mais geral de um corpo rígido, sendo um motor constituído de um vetor e de um rotor. Clifford procura os operadores algébricos que dessem conta dos movimentos mais geral de um corpo rígido chegando assim aos biquatérnios. A álgebra assim esboçada fica num quadro euclidiano. Nas três últimas seções, Clifford desenvolve a teoria dos rotores e motores no contexto da geometria elíptica, utilizando a métrica de Cayley e Klein nas esferas S2 e S3.

Abstract

This article studies the process of elaboration and the content of Clifford’s first article Preliminary Sketch of Biquaternions, which constitutes the first stage in the conception of geometric algebras. The first part of this article analyzes Clifford’s formation and his first published works. The other parts study in detail the content of the Preliminary Sketch of Biquaternions, the author’s first attempt to create an algebra that characterizes the movements of a rigid body in space.

Clifford’s article is divided into 5 sections. In the first two sections, the author introduces the concept of a rotor for operating rotations in space and the concept of a motor for the more general movement of a rigid body, which consists of a vector and a rotor. Clifford looks for algebraic operators that would give an account of the more general movements of a rigid body, thus arriving at biquaternions. The algebra thus outlined is in a Euclidean framework. In the last three sections, Clifford develops the theory of rotors and motors in the context of elliptical geometry, using the Cayley and Klein metric on spheres S2 and S3.

Palavras chave

Álgebras de Clifford; álgebras geométricas; Biquatérnios; Clifford; geometria elíptica

Keywords

Clifford algebras; geometric algebras; Biquaternions; Clifford; elliptic geometry